Feynman's trick

오늘은 신기한 적분 방법에 대해 알아봅시다.

아래 적분 문제를 봅시다.$$ \int_{0}^{1} \frac{x-1}{\ln x} dx $$

가장 먼저 시도해볼 만한 거는 다음과 같은 치환이죠. $$ x=e^{t} \quad\quad dx= e^{t} dt $$ 그런데 막상 하고 나면 $$ \int_{- \infty}^{0} \frac{1}{t} \left( e ^{t} -1 \right) e ^{t} dt $$ 이렇게 되거든요?

그런데 눈치 채셨는지 모르겠지만, 사실
$$ \int \frac{e ^ {x}}{x} dx $$는 초등적분이 되지 않는 유명한 꼴입니다.
즉 치환해도 아무것도 못한다 이거죠.

초등적분으로 이케 저케 하고 싶다면, $$ \frac{x-1}{\ln x} = \int_{0}^{1} x ^{t} dt $$라는 처음 보는 항등식을 들고 와서, 중적분을 해주면 됩니다. 사실 Fubini 정리를 배우기만 하면 금방 하긴 하는데, 이거는 나중에 다뤄보도록 하겠습니다.

그러면 중적분 없이는 어떻게 하냐. 바로 새로운 함수를 설정하는 겁니다...!

좀 뜬금없어 보일 수도 있지만, $$ F\left(a\right) = \int_{0}^{1} \frac{x ^ {a} -1}{\ln x} dx $$ 인 함수를 도입해보죠. 우리가 구하는 값은 $F\left(1\right)$이 될 겁니다!

이제 진짜 신기한 게 나오는데요, 바로 $F\left(a\right)$를 $a$로 미분하는 겁니다!!

그런데 문제는 저희가 저런 꼴의 함수를 미분하는 법을 안 배웠어요. 그러니까 먼저 라이프니츠 적분 규칙(Leibniz integral rule)에 대해 배우고 가야 합니다. 자세한 증명은 하지 않고 그냥 결과만 씁시다. 사실 저도 증명 몰라요.

라이프니츠 적분 규칙 (Leibniz integral rule)

이 정리는 아래와 같은 함수를 $x$로 미분하는 방법에 관한 이야기 입니다. $$ \int_{a\left( x\right)}^{b\left(x\right)} f\left( x,\; t \right) dt $$사실 내신에서 몇 번 봤을 겁니다. $$ g \left( x \right) = \int_{0}^{x} \left( x-t \right) f\left(t\right) dt $$이런 문제 한 번씩은 본 적 있죠? 우선 인테그랄 안에서는, $x$가 상수니까, 항을 쪼개서 인테그랄 밖으로 빼고, 다시 $x$에 대해 미분해갖고 이케 저케 하는 거잖아요.

그런데 제가 아까 보여준 $ \int_{a\left( x\right)}^{b\left(x\right)} f\left( x,\; t \right) dt $ 이 친구는 $x$가 인테그랄 안에서 어떻게 생겼는지 몰라서, 막 인테그랄 밖으로 빼내고 이런 게 안되는 거죠. 이런 일반적인 상황에서도 미분을 해보자 이겁니다. 결론은 다음과 같아요. $$ \frac{d}{dx}\left(\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=\\\\f(x,b(x))\cdot\frac{d}{dx}b(x)-f(x,a(x))\cdot\frac{d}{dx}a(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\,dt$$ 좀 많이 복잡하죠? ㅎㅎ 하지만 어차피 저희가 할 적분에서 $a(x)$랑 $b(x)$는 상수잖아요 ㅎㅎ! 그러니까 $\frac{d}{dx}a(x)$랑, $\frac{d}{dx}b(x)$는 $0$이 되서 앞의 두 항은 날아가는 거죠 야르렁~

다시 쓰면, $$\frac{d}{dx}\left(\int_{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\,dt$$ 이게 되는 겁니다~~
이제 이 식을 마음에 새기고, 원래 목표로 돌아갑시다!

$$ F\left(a\right) = \int_{0}^{1} \frac{x ^ {a} -1}{\ln x} dx $$를 대해 $a$에 대해 미분하는 게 목표였죠. 아까 결과를 떠올려 보면, $$F'(a)=\int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial a}\frac{x ^ {a} -1}{\ln x} dx$$가 될겁니다. 그러니까 안의 $$ \frac{x ^ {a} -1}{\ln x}$$ 이거를 $a$에 대해 편미분하는 겁니다. 차근차근 해보죠.

먼저 분모는 상수니까 넘깁시다.

그리고 분자는 밑이 $x$인 지수함수가 되겠죠? $a$에 대해 편미분하면, $x^ {a} \ln x$가 되는 겁니다!
그러면, 분모의 $\ln x$와 약분되면서, 인테그랄 내부를 편미분한 결과는 바로 $$\frac{\partial}{\partial a} \frac{x^ {a} -1}{\ln x} = x^ {a}$$가 됩니다!

그러면, 라이프니츠 적분 규칙에 의해, $$F'(a) = \int_{0}^{1} x ^{a} dx$$가 되고, 이거는 너무나 자명하게, $$F'(a)= \frac{1}{a+1}$$이 되겠죠!!!

그러면 다시 $F'(a)$를 다시 $a$에 대해 적분하면, 결과적으로 $$F(a) = \ln (a+1) + C $$가 됩니다!!

이제 마지막으로 $C$를 구해봅시다. $$F\left(a\right) = \int_{0}^{1} \frac{x ^ {a} -1}{\ln x} dx$$를 관찰해보면, $a=0$일 때 분자가 $0$이 되어 적분값이 $0$이 될겁니다. 즉, $F(0)=\ln (0+1) + C = 0$이니까, $C=0$이고, $F(a) = \ln (a+1) $을 얻을 수 있습니다!!

최종적으로 우리가 원하던 값인 $F(1)$은 바로 $\ln 2$ 였습니다~~~ 와우!

이름의 유래

이렇게 문자를 원래 적분 식에 하나 추가해서 새로운 함수를 도입하는 기법을 Feynman's Trick이라고 합니다. 이름에서 추측할 수 있듯이, 이 방법은 리처드 파인만(Richard Feynman)이 사용하던 데에서 유래했습니다. 학부 시절에 친구들이 파인만한테 어려운 적분 문제를 물어보면, 파인만이 문자 하나를 도입해서 함수를 만드는 방식으로 딸깍 해결했다는 유래가 있습니다..! 사실 이전부터 라이프니츠 적분 규칙은 알려져있던 사실이고, 이를 적분 문제를 풀기 위해 강제로 함수를 만드는 거를 파인만이 자주 사용해서 유명해진거죠.